Question

微分和导数是什么关系？

Answer 1

这两者是不同的，粗略来看很多人会认为这两者是一样的，但是其数学含义是不同的，而且严格说两者不是相等的关系。
从数学符号的意义上来说，dy与Δy是不同的，dx与Δx也是不同的。一般地，Δ~代表做“差(分)”运算之后的结果，是一个具体精确的表达。而d~代表做“微分”运算后的结果，里面包含有取某种极限之后的结果，是更抽象的表达。差分仅仅是直观的减法运算，而微分则包含有更为深刻的极限思想在里面。甚至也可以把微分认为是差分的极限。
我们定义函数y=F(x)
Δy=AΔx+o(Δx)来自于差分表达式:Δy=y1-y0=F(x1)-F(x0)，其中x1-x0=Δx.
右边F(x1)-F(x0)相当于做了一个一阶展开(如果你学过taylor展开，可以联系起来考虑)，得到线性部分AΔx和残差项o(Δx)，o(Δx)指的是Δx的高阶无穷小:如果Δx是一个具体的数，那么o(Δx)就是一个具体的数;如果Δx趋向于零，那么o(Δx)比Δx“更快地”趋向于零。A是一个与x0有关而与Δx无关的量。
dy=f(x)dx就是把之前式子里Δx的高阶无穷小o(Δx)拿掉不考虑，但是这里舍弃的o(Δx)并不是等于零的，而且一个关于Δx的函数，比如当取Δx收敛到零的极限时就有limo(Δx)=0。所以你可以把dy=f(x)dx看作是Δy=AΔx+o(Δx)取某种极限后的结果。
形式上我们可以定义dy=f(x)dx为一个微分表达式，是一个相对抽象的结果。但其实质是由具体的差分形式Δy=y1-y0=F(x1)-F(x0)演化而来的。或者说dy是Δy在某种极限意义下的近似。
这里相等的只有一阶展开系数A与导数f(x)，注意把上面固定的x0看做x即可。

Answer 2

导数在导下