Question

用极限定义证明当x→x0时，lim[f(x)/g(x)]=lim f(x)/lim g(x)

用极限定义证明当x→x0时，lim[f(x)/g(x)]=lim f(x)/lim g(x)

Answer 1

设limf=A，limg=B≠0。

任给d>0，

因为limf=A，所以存在r>0，

当|x-x0|<r时，成立|f-A|<d①

同理，存在s>0，当|x-x0|<s时，成立|g-B|<d②

因为limg=B≠0，所以存在t>0，当|x-x0|<t时，

成立|g|>|B|/2③【见极限保号性处】

取u=min{r，s，t}，则当|x-x0|<u时，①②③都成立。

而|f/g-A/B|=|（Bf-Ag）/gB|

=|（Bf-BA+BA-Ag）/gB|

《（|B||f-A|+|A||g-B|）/|g||B|

<2（|B|d+|A|d）/|B|²=Cd。

其中C=2（|B|+|A|）/|B|²>0。

证毕。

扩展资料

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：

对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。

极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。

Answer 2

设limf=A，limg=B≠0。
任给d>0，
因为limf=A，所以存在r>0，
当|x-x0|<r时，成立|f-A|<d①
同理，存在s>0，当|x-x0|<s时，成立|g-B|<d②
因为limg=B≠0，所以存在t>0，当|x-x0|<t时，
成立|g|>|B|/2③【见极限保号性处】
取u=min{r，s，t}，则当|x-x0|<u时，①②③都成立。
而|f/g-A/B|=|（Bf-Ag）/gB|
=|（Bf-BA+BA-Ag）/gB|
《（|B||f-A|+|A||g-B|）/|g||B|
<2（|B|d+|A|d）/|B|²=Cd。
其中C=2（|B|+|A|）/|B|²>0。
证毕。