Question

在边长为1的等边三角形abc内任取一点，这一点到3边的距离分别为a,b,c，求ab+bc+ca的

值范围。

Answer 1

∵在边长为1的等边三角形ABC内任取一点，这一点到3边的距离分别为a,b,c
∴将这点与三个顶点相连可得到三个小三角形
∵三个小三角形面积之和等于大三角形面积
∴1/2*a*1+1/2*b*1+1/2*c*1 = 1/2*1*√3/2
∴a+b+c=√3/2
∴(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=(√3/2)²=3/4
∴2a²+2b²+2c²+4ab+4bc+4ca=3/2
∴(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²+6ab+6bc+6ca=3/2
∴6ab+6bc+6ca=3/2-(a-b)²-(b-c)²-(c-a)²≤3/2
∴ab+bc+ca≤1/4
即，当a=b=c时，取最大值1/4

又，当该点在三角形任意一顶点时，ab+bc+ca=0

综上，ab+bc+ca的取值范围为【0，1/4】