Question

这个题怎证明？ 线性代数





Answer 1

第2、3、4列，分别减去第1列，得到
1 0 0 0
a b-a c-a d-a
a² b²-a² c²-a² d²-a²
a⁴ b⁴-a⁴ c⁴-a⁴ d⁴-a⁴

然后，按第1行展开得到3阶行列式，
b-a c-a d-a
b²-a² c²-a² d²-a²
b⁴-a⁴ c⁴-a⁴ d⁴-a⁴

第3行减去第2行的a²倍，第2行减去第1行的a倍，得到
b-a c-a d-a
b(b-a) c(c-a) d(d-a)
b²(b²-a²) c²(c²-a²) d²(d²-a²)

第1列提取公因子b-a，第2列提取公因子c-a，第3列提取公因子d-a，得到
(b-a)(c-a)(d-a)*行列式(3阶)：
1 1 1
b c d
b²(b+a) c²(c+a) d²(d+a)

第2、3列，分别减去第1列，得到
1 0 0
b c-b d-b
b²(b+a) c²(c+a)-b²(b+a) d²(d+a)-b²(b+a)

按照第一行展开，得到2阶行列式
c-b d-b
c²(c+a)-b²(b+a) d²(d+a)-b²(b+a)

即
c-b d-b
(c-b)(c²+cb+b²)+(c²-b²)a (d-b)(d²+db+b²)+(d²-b²)a

第1列提取公因子c-b，第2列提取公因子d-b，得到
原式=(b-a)(c-a)(d-a)*(c-b)(d-b)*行列式（2阶）：
1 1
c²+cb+b²+(c+b)a d²+db+b²+(d+b)a

然后求出这个行列式，因式分解即可。