设X1=2,Xn (Xn-4)Xn-1=3(n=2,3…),求n趋无穷时的极限,求详细过程!
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由于1/4(3xn+a/xn^3)=1/4(xn+xn+xn+a/xn^3)>=四次根号(a),因此不妨设x1大于等于四次根号(a)=b。
当x1>=b时,易知x2=1/4(3x1+a/x1^3)=x1--1/4(x1--a/x1^3)<=x1。用数学归纳法可以证明
xn是递减的有下界b的数列,因此有极限,设极限是x,则在递推关系式中令n趋于无穷,得
x=1/4(3x+a/x^3),解得x=b=四次根号(a)。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为:
对于被考察的未知量,先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量,确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量;用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
极限思想是微积分的基本思想,是数学分析中的一系稿伍键列重要概念,如函数的连续性橘顷、导数(为0得到极大值)以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问:“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说:“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科,并且计算结果键巧误差小到难于想像,因此可以忽略不计。
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