Question

.已知函数f（x）=-x^2+2ax+1-a在[0，1]时有最大值2，求a的值

解：此时分三种情况讨论 对称轴为x=a
①0≤a≤1,f(a)取最大值，则a^2-a+1=2,解得a=(1±√5)/2,不符合范围
②a≤0,f(0)取最大值，则a=-1
③a≥1,f(1)取最大值，则a=2
步骤我都看得懂，但是不明白为什么要分三种情况讨论

Answer 1

首先需要明白，对称轴x=a，a为不确定的值，而题意规定x的取值范围为【0,1】

所以a的值可能在这个范围内，也可能不在这个范围内，则a有三个取值范围

即0≤a≤1，a≤0，a≥1

（1）当对称轴a在0≤a≤1这个范围内的时候，最大值其实就是a²-a+1，其实就是顶点坐标y值

（2）当a＜0时，此时在x∈【0,1】区间为减函数，所以当x=0时的值是最大的；

（3）当a＞1时，此时在x∈【0，1】区间为增函数，所以当x=1时的值是最大的。

所以要分三种情况考虑。

追问

恩，谢谢，但是晚了点，所以采纳了别的，不过你讲解的很详细

追答

没事，只要你明白就好。

Answer 2

f（x）=-x²+2ax+1-a
=-（x-a)²-a²-a＋1
函数在x＜a时，单调递增 ， 在x=a时取最大值，在x＞a时单调递减
分三种情况，是因为二次函数的在对称轴上函数在定义域取得最大值。
而题目中是在[0，1]时有最大值2，那么这个在[0，1]上取得的最大值不一定是函数的最大值。只有当a∈[0，1]时，这个2才是函数的最大值。
①0≤a≤1,f(a)取最大值，此时最大值就是函数的最大值，因此有-a²-a＋1=2
②a≤0,此时[0，1]在a的右边，函数单调递减， f(0)取最大值，则a=-1
③a≥1,此时[0，1]在a的左边，函数单调递增，f(1)取最大值，则a=2

Answer 3

能不能看到明天的太阳，这可就真不一定了。