Question

24题，高数





Answer 1

解：

y=x³

令y=t，得x³=t，x=³√t

S₁(t)=∫[0：³√t](t-x³)dx

S₂(t)=∫[³√t：1](x³-t)dx

S₁(t)+S₂(t)

=∫[0：³√t](t-x³)dx+∫[³√t：1](x³-t)dx

=(tx-¼x⁴)|[0：³√t]+(¼x⁴-tx)|[³√t：1]

=t·³√t-¼(³√t)⁴-(0-0)+(¼·1⁴-t·1)-[¼(³√t)⁴-t·³√t)]

=(3/2)t^(4/3)-t+¼

[S₁(t)+S₂(t)]'

=(3/2)(4/3)t^(1/3) -1

=2t^(1/3) -1

令2t^(1/3) -1≥0

t^(1/3)≥½

t≥⅛

又0<t<1

S₁(t)+S₂(t)在(0，⅛)上单调递减，在(⅛，1)上单调递增

t=⅛时，S₁(t)+S₂(t)取得最小值。

[S₁(t)+S₂(t)]min

=(3/2)·⅛^(4/3)-⅛+¼

=(3/2)·(1/16) +⅛

=7/32

综上，得：t为⅛时，S₁(t)+S₂(t)的值最小，最小值为7/32。