Question

级数(-1)^n cos2n/n 条件收敛怎么证

Answer 1

令an=(-1)^n*cos2n，bn=1/n
Σan=-cos2+cos2*2-cos2*3+……+(-1)^n*cos2n
=-Σcos(2*(2k-1))+Σcos(2*2k)
=Σcos(4k)-Σcos(4k-2)
由积化和差公式，2*cos4k*sin2=sin(4k+2)-sin(4k-2)
故Σcos(4k)=[-sin2+sin6-sin6+sin10-……-sin(4k-2)+sin(4k+2)]/2sin2
=[sin(4k+2)-sin2]/2sin2
同理Σcos(4k-2)=[sin(4k)-sin2]/2sin2
则Σan=[sin(4k+2)-sin(4k)]/2sin2
=cos(4k+1)*sin1/sin2 (和差化积公式）
故而，Σan有界
另外，bn单调递减到零
由阿贝尔判别法（若Σan有界且bn单调递减到零，则Σan*bn收敛）可知，
原式收敛

Answer 2

利用n+1/n这个公式，下来是半径，就OK了

追问

半径是什么……算了我放弃了……