求不定积分31。
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分部积分
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令lnx=t，则x=e^t
∫(x+1)lnxdx
=∫t·(e^t +1)d(e^t)
=∫t[(e^t)²+e^t]dt
=∫t(e^t)²dt+∫te^tdt
=½∫td[(e^t)²]+∫td(e^t)
=½[t·(e^t)²]-½∫(e^t)²dt +t·e^t-∫e^tdt
=½[t·(e^t)²]-¼(e^t)²+t·e^t-e^t+C
=¼(2t-1)(e^t)²+(t-1)·e^t+C
=¼(2lnx -1)(e^(lnx))²+(t-1)·e^(lnx)+C
=¼(2lnx -1)·x²+(t-1)x+C
∫(x+1)lnxdx
=∫t·(e^t +1)d(e^t)
=∫t[(e^t)²+e^t]dt
=∫t(e^t)²dt+∫te^tdt
=½∫td[(e^t)²]+∫td(e^t)
=½[t·(e^t)²]-½∫(e^t)²dt +t·e^t-∫e^tdt
=½[t·(e^t)²]-¼(e^t)²+t·e^t-e^t+C
=¼(2t-1)(e^t)²+(t-1)·e^t+C
=¼(2lnx -1)(e^(lnx))²+(t-1)·e^(lnx)+C
=¼(2lnx -1)·x²+(t-1)x+C
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