Question

高等数学 一道求曲线方程的题 求详细解题过程 在线等速度采纳

Answer 1

(1).y'=4x²-y/x

先求齐次方程y'+y/x=0的通解：

分离变量得：dy/y=-dx/x；积分之得lny=-lnx+lnc=ln(c/x);

故齐次方程的通解为y=c/x；将c换成x的函数u，得y=u/x...........(1)

将(1)对x取导数得y'=(xu'-u)/x²=u'/x-u/x²...........(2)

将(1)(2)代入原式得：u'/x-u/x²=4x²-u/x²

化简得u'/x=4x²,  u'=4x³;   故u=4∫x³dx=x^4+c，代入（1）式得原方程的通解：

y=(x^4+c)/x=x³+c/x；将x=1,y=1代入,得 c=0;

故过(1,1)且切线斜率为4x²-y/x的曲线方程为y=x³；

(2).由y=1与曲线y=x³及y轴所围图形的面积S:

(3).上述图形绕y轴旋转所得旋转体的体积V：