Question

第七题证明题怎么做？高数微积分

Answer 1

令F(x)=2∫(0,x)tf(t)dt-x∫(0,x)f(t)dt，其中x∈[0,a]，则显然有F(0)=0
F'(x)=2xf(x)-∫(0,x)f(t)dt-xf(x)
=xf(x)-∫(0,x)f(t)dt
由积分中值定理，存在k∈[0,x]，使得∫(0,x)f(t)dt=xf(k)
F'(x)=x[f(x)-f(k)]
因为f(x)单调增加，所以f(x)>=f(k)，即F'(x)>=0
所以F(x)单调增加，即F(a)>=F(0)
所以2∫(0,a)tf(t)dt-a∫(0,a)f(t)dt>=0
原题得证

Answer 2

构造函数求导证明单调性即可，具体参考下图