Question

请教一道奥数题

在一个圆的直径的两端写上1，将此直径分得的两个半圆弧都平分，在每个平分点上都写上该点相邻两数之和，然后把分得的4个圆弧各自平分，在所得的分点上写上该点相邻两数之和……如此继续下去，第10次平分后，圆周长各分点之数的和 S10 是多少？

Answer 1

如果是小学生的水平可以直接观察:
没分之前各数和=2
第一次分后各数和=6=2*3
第二次分后各数和=18=2*3*3
第三次分后各数和=54=2*3*3*3
..
S10=2*3^10=118098
若要严格证明:
设第N次分后得到的扇形为A1,A2...A(2^N)
扇形弧两端的数是(a1,a2),(a2,a3),(a3,a4)...(a(2^N),a1)
SN=a1+a2+...+a（2^N)+a1
第(N+1)次分后的扇形为:
A1,A2,A3...A(2^(N+1))
扇形弧上的数是:
(a1,(a1+a2))((a1+a2),a2),(a2,(a2+a3)),((a2+a3,a3)),...
(a(2^N),a(2^N)+a1),(a(2^N)+a1,a1)
S(N+1)=a1+a2+..+a(2^N)+a1+2(a1+a2+..+a(2^N)+a1)
=3SN
所以SN是公比为3,首项为2的等比数列
S10=2*3^10=118098

Answer 2

思路:每次增加新的点都要用到他周围的两个点
所以每个点在出现以后,在后来的增加新点过程中都要用到
且没增加一次,用到一回!!!!
所以各个点用到的次数为下列数的两倍
1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
解得s10=2*{1*10+2*9+3*8+4*7+5*6+6*5+7*4+8*3+9*2+10*1}=440
S10=440

Answer 3

按题目的分法，在圆周上具有对称性，只分析四分之一圆周就行了。
四分之一圆周要等分成 4096 份，
将四分之一圆周展成直线进行等分，也合符题意，
将直线等分成若干等份，对每一等份再进行等分，直至合符题意为止。
我试了三小段，找不出数字之间的关系。
初看好像数字之间应该有一定规律，可能这个规律比较复杂，不易被发现。

Answer 4

找规律发现每次平分后，所得点数之和为前一次的3倍
S10=2*3^10=118098