Question

高数，求解答

Answer 1

5.(1)积分区域是圆:(x-a)^2+y^2<=a^2的上半部。
作变换x=rcosΘ，y=rsinΘ，dxdy=rdrdΘ，
积分区域变为0<Θ<π/2,0<r<=2acosΘ，
原式=∫<0,π/2>dΘ∫<0,2acosΘ>r^3dr
=（1/4）∫<0,π/2>(2acosΘ)^4dΘ
=a^4∫<0,π/2>(1+cos2Θ)^2dΘ
=a^4∫<0,π/2>[1+2cos2Θ+(1/2)(1+cos4Θ)]dΘ
=a^4[3Θ/2+sin2Θ+（1/8）sin4Θ]|<0,π/2>
=（3π/4）a^4.
(2)原式=2π{∫<0,√2>(2-r^2)rdr+∫<√2，√3>(r^2-2)rdr}
=2π{[r^2-(1/4)r^4]|<0,√2>+[(1/4)r^4-r^2]|<√2，√3>}
=2π（1+1/4)
=5π/2.
（3）原式=2∫<0,π/2>dΘ∫<1,2cosΘ>r^3cosΘsinΘdr
=(1/2)∫<0,π/2>cosΘsinΘdΘr^4|<1,2cosΘ>
=(1/2)∫<0,π/2>cosΘsinΘ[16(cosΘ)^4-1]dΘ
=(-1/2)∫<1,0>t(16t^4-1)dt(t=cosΘ)
=27/20.