Question

高数 第六题

Answer 1

设该长方体的长为 x，宽为 y，高为 z。
有：
S表 = 2xy + 2xz + 2yz = a²
因为：
xy + xz + yz ≥3 * ³√(xyz)²
那么有：
a² ≥ 2 * [3 * ³√(xyz)²] = 6 * ³√(xyz)²
(a²)³ ≥ 216 *(xyz)²
a³ ≥ √216 * (xyz) = 6√6 * (xyz)
因为长方体的体积：
V = xyz ≤ (a³)/(6√6)
也就是说，该长方体最大体积为 (a³)/(6√6)，此时 x = y = z = a/√6

Answer 2

正方体时体积最大，边长a/√6
体积a³/6√6

追答

设长宽高为x，y，z
a²=2（xy十yz十zx）
z=（a²/2-xy）/（x十y）
V=xyz=xy （a²/2-xy）/（x十y）
xy是对称的。

∂V/∂x= y （a²/2-xy）/（x十y） 十xy（-y） /（x十y）- xy （a²/2-xy）/（x十y）²
=（x²/（x十y）²）（a²/2-2xy-x²）
xy对称，将x，y互换得
∂V/∂y= （y²/（x十y）²）（a²/2-2xy-y²）
取极值是，上面两个偏导数都是0,两式相等，对比得，x=y
a²/2-3x²=0
x=y=a/√6
代入计算z同上。