Question

高等数学 微分方程 第5题 求解答

Answer 1

5. 通解直接写出是 y = Ce^x + x
也可这样解之，但麻烦：
y = e^x 代入 y' + Py = 0， 得 P = -1，
y = x 代入 y' - y = Q，得 Q = 1-x
非齐次微分方程是 y' - y = 1-x
通解 y = e^x [ ∫(1-x)e^(-x)dx + C]
= e^x [ ∫(x-1)de^(-x) + C]
= e^x [ xe^(-x) + C]
= x + Ce^x

追问

直接写是依据哪个公式？

追答

非齐次线性微分方程的结构就是特解 加 对应齐次方程的通解
本题就是 x + Ce^x

追问

第一个方程给的是y1=e^x是特解 怎么看出通解是Ce^x ?

不也可以是e^x +C 之类的

追答

dy/dx + P(x)y = 0
dy/dx = -P(x)y
dy/y = -P(x)dx
lny = -∫P(x)dx + lnC
y = Ce^[-∫P(x)dx]
此类方程通解是 特解的 C 倍， 不是和

追问

哦哦 还有一个问题 你第一次给出的回答倒数第三行那个积分怎么算得？

麻烦你了

追答

你做一下啊！
∫(1-x)e^(-x)dx = ∫(x-1)de^(-x) = (x-1)e^(-x) - ∫e^(-x)dx
= (x-1)e^(-x) + e^(-x) = xe^(-x)

追问

多谢！ 分不积分不习惯你的写法 没看出来