Question

高数求解曲线积分的一般步骤。（先干什么后干什么）

Answer 1

第一类曲线积分，弧长积分
1）先看积分路径
若路径是由多个折线组成的，则要拆开，按照各个线段积分
2）若在对应的积分路径上，被积函数与其相同
可先把路径函数代入被积函数中化简
3）计算ds
ds=√(1+y'²)dx，这是X型
ds=√(1+x'²)dy，这是Y型
ds=√(x'²+y'²)dt，这是参数方程，角度由圆心开始
ds=√(r²+r'²)dθ，这是极坐标方程，角度由原点开始

第二类曲线积分，坐标积分
1）先看积分路径是否能能围成封闭的区域
2）若不能围成封闭区域，可以考虑补上线段使其封闭
或者直接计算也可以
∫Pdx+Qdy=∫(a,b)[P(x,y(x))dx+Q(x,y(x)*y']dx，这是X型
∫Pdx+Qdy=∫(c,d)[P(x(y),y)*x'+Q(x(y),y)]dy，这是Y型
∫Pdx+Qdy=∫(a,b)[P(x(t),y(t))*x'(t)+Q(x(t),y(t))*y'(t)]dt，这是参数方程
3）符合2）的条件，也考虑运用格林公式
4）看看被积函数是否存在奇点
若存在奇点，则不能直接运用格林公式
需要根据分母的性质，挖一个足够小的圆或椭圆。把奇点排除在外，方向与外圆相反，这样就能运用格林公式了
5）运用格林公式后，注意要减去补上的线段对应的积分
因为能量守恒性质，不能无缘无故多了一点东西的

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