Question

已知-π/2＜x＜0，sinx＋cosx＝1/5

已知-π/2＜x＜0，sinx＋cosx＝1/5（1）求sinx-cosx
（2）求（3sin²（x/2）-2sin（x/2）cos（x/2）＋cos²（x/2）-1）/（tanx＋cotx）

Answer 1

1)∵sinx+cosx=1/5
∴（sinx+cosx）²=1/25
∴sinx²+2sinxcosx+cosx²=1/25
∵sinx²+cosx²=1
∴2sinxcosx=1/25-1=-24/25
sinxcosx=12/25
∴sinx²-2sinxcosx+cosx²=1+24/25=49/25
∴（sinx-cosx）²=49/25
∴sinx-cosx=±7/5
∵-π/2＜x＜0，
∴sinx<0,cosx>0

∴sinx-cosx=-7/5
2)
（3sin²（x/2）-2sin（x/2）cos（x/2）＋cos²（x/2）-1）/（tanx＋cotx）

利用半角公式sin²（x/2）=1/2（1-cosx）和cos²(x/2)=(1+cosx)/2
积化和差公式sinαcosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
原式=（3*1/2（1-cosx）-2*1/2*sin（x/2+x/2）+（1+cosx）/2-1）/（tanx+cotx）
=（3/2-3/2cosx-sinx+1/2+1/2cosx-1）/（tanx+cotx）
=（1-sinx-cosx）/（sinx/cosx+cosx/sinx）
=（1-sinx-cosx）/（（sin²x+cos²x）/（sinxcosx））
=（1-sinx-cosx）（sinxcosx）
sinx+cosx=1/5，sinxcosx=12/25
=（1-1/5）*12/25
=48/125

Answer 2

（1）∵sinx+cosx=1/5 ①∴(sinx+cosx)²=1/25，即1+2sinxcosx=1/25∴sinxcosx=-12/25∴(sinx-cosx)²=1-2sinxcosx=1-2×(-12/25)=49/25又∵-π/2<x<0 ∴sinx-cosx<0∴sinx-cosx=-7/5 ② （2）tanx+(1/tanx)是不是分母，如果是，答案如下：联立①②解得：sinx=-3/5,cosx=4/5 ∴tanx=-3/4∴原式=[2sin²(x/2)+1-sinx]/[tanx+(1/tanx)] =(1-cosx+1-sinx)/[tanx+(1/tanx)] =[2-(4/5)-(-3/5)]/{(-3/4)+[1/(-3/4)]} =108/125