琴生不等式的证明
如今我们看看如何证明琴生不等式，下面只对凸函数加以证明。
首先我们对n是2的幂加以证明，用数学归纳法
假设对于 琴生不等式成立，那么对于
(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n
=((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2
≥(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2
≥f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2)
=f((x1+x2+...+xn)/n)
所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。
如今对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n
然后我们设
x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n
代入 阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。
如今看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式
(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2
显然，我们可以查看函数
由于
(f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4≥(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4≥(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2
所以f(x)= 是凹函数
所以我们可以得到，对于任意x1,x2,...,xn,
有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≥f((x1+x2+...+xn)/n)
也就是n阶平方平均不等式。
从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦。
不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论。
如果f(x)二阶可导，而且f''(x)≥0,那么f(x)是下凸函数(凸函数）
如果f(x)二阶可导，而且f''(x)≤0,那么f(x)是上凸函数(凹函数)
至于这个证明，只要使用f(x)的泰勒展开式，利用其二阶余项就可以证明的。（或者构造一个函数采用中值定理）
加权琴生不等式
证明如图：
