Question

已知f（x+1/x-1）=3f（x）-2x，求f（x）

Answer 1

解析如下：

f[(x+1)/(x-1)]=3f(x)-2x

3f(x)-f[(x+1)/(x-1)]=2x ①

令(x+1)/(x-1)=t，则x=(t+1)/(t-1)

3f[(t+1)/(t-1)]-f(t)=2(t+1)/(t-1)

将t换成x，整理，得

f(x)-3f[(x+1)/(x-1)]=-2(x+1)/(x-1) ②

①×3-②

8f(x)=6x +2(x+1)/(x-1)

f(x)=(3x²-2x+1)/(4x-4)

分式有意义，4x-4≠0，x≠1

函数解析式为：f(x)=(3x²-2x+1)/(4x-4)，(x≠1)

函数相关简介：

函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

Answer 2

解：
f[(x+1)/(x-1)]=3f(x)-2x
3f(x)-f[(x+1)/(x-1)]=2x ①
令(x+1)/(x-1)=t，则x=(t+1)/(t-1)
3f[(t+1)/(t-1)]-f(t)=2(t+1)/(t-1)
将t换成x，整理，得
f(x)-3f[(x+1)/(x-1)]=-2(x+1)/(x-1) ②
①×3-②
8f(x)=6x +2(x+1)/(x-1)
f(x)=(3x²-2x+1)/(4x-4)
分式有意义，4x-4≠0，x≠1
函数解析式为：f(x)=(3x²-2x+1)/(4x-4)，(x≠1)

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

令u=(x+1)/(x-1)
则有: x=(u+1)/(u-1)
f(u)=3f((u+1)/(u-1))-2(u+1)/(u-1)
即: f(x)=3f((x+1)/(x-1))-2(x+1)/(x-1) (1)
又:f((x+1)/(x-1))=3f(x)-2x (2)
代入(1)式:
f(x)=3(3f(x)-2x)-2(x+1)/(x-1)
=9f(x)-6x-2(x+1)/(x-1)
8f(x)=6x+2(x+1)/(x-1)
f(x)=3x/4+(x+1)/(4x-4)

Answer 5

f(x)=3x/4+(x+1)/(4(x-1))

追问

求过程