Question

数学微积分题 求大神教 在线等

数学微积分题 求大神教 在线等第四题 答案在下面 求过程

Answer 1

(x^3+5)'=3x^2
∴原式=∫(x^3+5)^(1/3)*（1/3）(x^3+5-5)^2*(3x^2)dx
=（1/3）∫(x^3+5)^(1/3)*(x^3+5-5)^2d(x^3+5)
令t=x^3+5,换元得
原式=（1/3）∫t^(1/3)*(t-5)^2dt
=（1/3）∫t^(1/3)*(t^2-10t+25)dt
=（1/3）∫[t^(7/3)-10t^(4/3)+25t^(1/3)]dt
后面的积分及将t换回x，相信你一定能作出，就不多写了。祝你学习进步，前程似锦。

追问

从原式那里就没看懂了😭😭😭

追答

(x^3+5)'=3x^2，考虑用第一类换元积分，将被积表达式改写成(x^3+5)的形式与3x^2的乘积
x^8=（1/3）(x^3)^2*(3x^2)=（1/3）[(x^3+5)-5]^2*(3x^2)
再用t=x^3+5,换元得原式=（1/3）∫t^(1/3)*(t-5)^2dt
(t-5)^2=t^2-10t+25每一项与t的立方根相乘，积分式就等于
（1/3）∫[t^(7/3)-10t^(4/3)+25t^(1/3)]dt
以后你只需用幂函数的积分公式，并将t用x^3+5替换，化简就可得到结果了