Question

一个函数的奇偶性问题

定义在实数集合上的函数f(x),如果它满足条件对任意的x有f(2+x)=f(2-x),f(7+x)=f(7-x),判断f(x)的奇偶性,并给出理由.
说非奇非偶,一定要有充分的理由,最好能举出反例,我猜想可能是周期为2的偶函数,但我不能证明它.

Answer 1

f(x)=f(2-(2-x))=f(2+(2-x))=f(4-x)=f(7-(3+x))=f(7+(3+x))=f(10+x)，这说明10是f(x)的一个周期（不一定是最小周期）。也就是说只要这个函数他有一个周期是10那他就就能满足题目所给的要求。

我们知道函数的周期=最小正周期*n，所以也就是说要求的函数的最小正周期是小于10的且形式为10/n。

已知函数f(x)有两个对称轴，x=2和x=7，当n=5的时候函数的最小正周期就为2，已知x=2是对称轴，那么x=0就是对称轴了，所以当函数周期为2时他是偶函数。推而广之当n=5m（m为任意整数）的时候，函数的最小正周期为2/m，x=2移动m个周期就能到达x=0，综上，当函数最小正周期为2/m（m为任意整数）时，函数为偶函数。

下面考虑当最小正周期不为2/m时函数的奇偶性。

最小正周期不等于2/m，即是说x=0在一个周期内部（也就是x=0的左边有个对称轴右边有个对称轴，从左边那个对称轴到右边那个对称轴是一个最小正周期）。根据f（x）是周期函数，且他的一个最小正周期两端的轴都是对称轴，可以推得，f（x）的一个最小周期的函数图像必然是关于中轴对称的。所以这就直接否定了f（x）为奇函数的可能性（除非它是常函数）。

那有没有可能是偶函数呢？下面我们就来证明他也不可能是偶函数。

如果他是偶函数，那么只有下面这一种情况。如图，

T/2+T*n`=2这个式子要成立。其中T为最小正周期，把T=10/n带入得到，n=2.5+5*n`，其中n和n`都是非负整数，显然要上式是不可能成立的，也就是说最小正周期不等于2/m函数不可能为偶函数。

综上，当最小正周期不为2/m时函数非奇非偶。

Answer 2

根据f(2+x)=f(2-x)可知x=2是函数的一个对称轴，同理亦有x=7也是函数的对称轴；要同时满足这样的条件只有f(x)为周期函数且其周期为5/n，n为整数；
观察n=1时函数的对称轴为x=…-3,2,7,…，不包括x=0轴，所以f(x)不是偶函数；再排除了奇函数，f(x)是非奇非偶函数；
(事实上，当n为5的倍数时函数是偶函数；常数实际上是n趋于无穷大时的函数)

Answer 3

我又想了想楼主说的是偶函数，应该是对的。

f(x)=f(2-(2-x))=f(2+(2-x))=f(4-x)=f(7-(3+x))=f(7+(3+x))=f(10+x)，这说明f(x)是个【最大】周期为10的函数。所以这个函数的周期可以是10/n的任一个。
已知函数f(x)有两个对称轴，x=2和x=7，当n=5的时候周期就为2，已知x=2是个对称轴，那么x=0就是对称轴了，所以当函数周期为2时他是偶函数。当n=5x（x为任意整数）的时候，同理f（x）也是偶函数。
当n不等于5x的时候，f（x）是奇非欧。

10是f（x）的一个周期上面已经严格推出来，可是怎么证明10就是他的最大周期我弄不出来。我是假设f（x）为三角函数画图来确定的，你若划周期为20的三角函数，得不到x=2和x=7都为对称轴的情形。这也许算个举反例。

我同意三楼的解法，就是那个5我觉得应该换成10。

Answer 4

根据f(2+x)=f(2-x)可知x=2是函数的一个对称轴，同理亦有x=7也是函数的对称轴；要同时满足这样的条件只有f(x)为周期函数且其周期为5/n，n为整数；
观察n=1时函数的对称轴为x=…-3,2,7,…，不包括x=0轴，所以f(x)不是偶函数；再排除了奇函数，f(x)是非奇非偶函数；
(事实上，当n为5的倍数时函数是偶函数；常数实际上是n趋于无穷大时的函数)

这个回答完全正确

Answer 5

以上的回答都没有做出充分性的证明。而且都不是正确的答案。
假如该函数是f(x)=c,c是常数，那么完全符合题意，显然是偶函数。当c=0时既是奇又偶。

如果要严格证明需要时间再想下。但是我至少能找到反例证明楼上的证明是错误的。

Answer 6

易验证，图中的例子符合f(2+x)=f(2-x)。它非奇非偶，也非周期。

同理可证，f(7+x)=f(7-x) 也是非奇，非偶，非周期的。