Question

求x趋向于π/2时，(sinx)^tanx的极限

Answer 1

解：当u->0时 ,(1+u)^(1/u) -> e 

当x->π/2 时,令 u = sinx-1,u->0 

(sinx) ^ (tanx) = (1+ sinx-1) ^ (tanx) = (1+u) ^ {(1/u) * u * tanx }

lim(x->π/2) u * tanx 令 t = π/2 -x 
= lim(t->0) (cost - 1)/ tant 
= lim(t->0) (cost - 1)/ t = 0

故 lim(x->π/2) (sinx) ^ (tanx) = e^0 = 1

关于sin函数的知识延展：

1. 简介：

   sin函数，即正弦函数，三角函数的一种。正弦函数是三角函数的一种。对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sinx，叫做正弦函数。

2. 锐角正弦函数：

   在直角三角形ABC中，∠C是直角，AB是∠A斜边，BC是∠A的对边，AC是∠B的对边。

   正弦函数就是sin(A)=a/c

   sinA=∠A的对边：斜边

3. 正弦函数

   对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sinx，叫做正弦函数。

4. 性质：

   ① 图像：图像是波形图像（由单位圆投影到坐标系得出），叫做正弦曲线(sine curve)

   ② 定义域：实数集R

   ③ 值域：[-1——1] （正弦函数有界性的体现）

   ④ 最值和零点：最大值：当x=2kπ+(π/2) ，k∈Z时，y(max)=1

   最小值：当x=2kπ+(3π/2)，k∈Z时，y(min)=-1

   ⑤ 零值点： (kπ,0) ，k∈Z

   ⑥ 对称性：对称轴：关于直线x=(π/2)+kπ，k∈Z对称

   中心对称：关于点(kπ,0)，k∈Z对称

   ⑦ 周期性：最小正周期：2π

   ⑧ 奇偶性：奇函数 (其图象关于原点对称)

   ⑨ 单调性：在[-(π/2)+2kπ,(π/2)+2kπ]，k∈Z上是增函数

   在[(π/2)+2kπ,(3π/2)+2kπ]，k∈Z上是减函数

Answer 2

　　解：∵(sinx)^tanx=e^[(tanx)lnsinx]=e^[(sinx)(lnsinx)/cosx]，
　　∴原式=e^[lim(x→π/2)(sinx)(lnsinx)/cosx]。而lim(x→π/2)(sinx)(lnsinx)/cosx]=0，
　　∴原式=1。
　　供参考。

Answer 3

sinx=1-（1-sinx）
把形式凑成第二种重要极限形式，可得答案为1