Question

求双曲函数的反函数

Answer 1

y=ln(x+√(y²+1)) 即为双曲正弦反函数。双曲正弦函数是双曲函数的一种，双曲正弦函数在数学语言上一般记作sinh，也可简写成sh。

与三角函数一样，双曲函数也分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种，双曲正弦函数和双曲余弦函数是双曲函数中最基本的两种，由这两个函数可推导出双曲正切函数等等。

函数性质：

y=sinh x，定义域：R，值域：R，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，函数图像关于原点对称。

y=cosh x，定义域：R，值域：[1,+∞)，偶函数，函数图像是悬链线，最低点是（0，1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，函数图像关于y轴对称。

y=tanh x，定义域：R，值域：(-1,1)，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，其图像被限制在两水平渐近线y=1和y=-1之间。

Answer 2

因为这里书写不便，故将我的答案做成图像贴于下方，谨供楼主参考。

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Answer 3

y=shx=1/2(e^x-e^(-x))
2(e^x)*y=e^(2x)-1
e^(2x)-2y(e^x)-1
e^x=1/2*(2y+√(4y²+4)) （取正号，负号无意义）
=y+(y²+1)^(1/2)
x=ln(y+√(y²+1))
或写成
y=ln(x+√(y²+1)) 即为双曲正弦反函数

双曲余弦反函数类似推导。
y=ln(x+√(y²-1))

Answer 4

引用玉杵捣药的回答：
因为这里书写不便，故将我的答案做成图像贴于下方，谨供楼主参考。
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archy应分两部分讨论，coshx在小于0⃣️的区域的反函数应该是ln（y-根号y方减一）

Answer 5

看不清