设z＝ln（x^2+y^2）求偏导数，如图，第十题 5
az/ax=2x/（x^2+y^2)，a^2z/ax^2=2（-x^2+y^2)/[（x^2+y^2)]的平方。
偏导数是通过极限来定义的，按定义写出某点(x0,y0)处偏导数的极限表达式。（以对x的偏导数为例）lim[f(x,y0)-f(x0,y0)]/(x-x0)（x趋于x0）。
用极限的相关知识来考察这个极限是否存在。这极限是否存在和该点处偏导数是否存在是一致的，因此证明偏导数存在的任务就转化为证明极限存在。
扩展资料：
偏导数计算注意事项：
1、若二元函数f在其定义域内某点可微，则二元函数f在该点偏导数存在，反过来则不一定成立。
2、若二元函数函数f在其定义域内的某点可微，则二元函数f在该点连续，反过来则不一定成立。
3、二元函数f在其定义域内某点是否连续与偏导数是否存在无关。
4、可微的充要条件：函数的偏导数在某点的某邻域内存在且连续，则二元函数f在该点可微。
参考资料来源：百度百科-偏导数
z＝ln(x²+y²)
∂z/∂x=2x/(x²+y²)
∂²z/∂x²=[2(x²+y²)-2x·bai2x]/(x²+y²)²=2(y²-x²)/(x²+y²)²
∂³z/∂x²∂y=2[2y(x²+y²)²-(y²-x²)2(x²+y²)·2y)]/(x²+y²)⁴
=2[2y(x²+y²)-(y²-x²)·4y)]/(x²+y²)³
=4(3x²y-y³)/(x²+y²)³
∂³z/∂x∂y² 只要x、duy互换即可。
扩展资料：
偏导数的意义：
在xOy平面内，当动点由P(x0,y0)沿不同方向变化时，函数f(x,y)的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率。
如果二元函数z=f(x,y)的偏导数f'x(x,y)与f'y(x,y)仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数。 二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy.
注意：f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对x求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再对x求偏导.当f"xy与f"yx都连续时，求导的结果与先后次序无关。
az/ax=2x/（x^2+y^2)，a^2z/ax^2=2（-x^2+y^2)/[（x^2+y^2)]的平方。
偏导数是通过极限来定义的，按定义写出某点（x0，y0）处偏导数的极限表达式。（以对x的偏导数为例）lim［f（x，y0）-f（x0，y0）］/（x-x0）（x趋于x0）。
用极限的相关知识来考察这个极限是否存在。这极限是否存在和该点处偏导数是否存在是一致的，因此证明偏导数存在的任务就转化为证明极限存在。
x方向的偏导
设有二元函数z=f（x，y），点（x0，y0）是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f（x，y）有增量（称为对x的偏增量）△z=f（x0+△x，y0）-f（x0，y0）。
如果△z与△x之比当△x→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f（x，y）在（x0，y0）处对x的偏导数，记作f'x（x0，y0）或函数z=f（x，y）在（x0，y0）处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f（x，y0）在x0处的导数。
请见下图的过程
∂z/∂x=2x/(x²+y²)
∂²z/∂x²=[2(x²+y²)-2x·2x]/(x²+y²)²=2(y²-x²)/(x²+y²)²
∂³z/∂x²∂y=2[2y(x²+y²)²-(y²-x²)2(x²+y²)·2y)]/(x²+y²)⁴
=2[2y(x²+y²)-(y²-x²)·4y)]/(x²+y²)³
=4(3x²y-y³)/(x²+y²)³
∂³z/∂x∂y² 只要x、y互换即可。
