Question

∫dx/(x²-1)=?

Answer 1

∫dx/(x²-1)=1/2ln丨x-1丨-1/2ln丨x+1丨+C。C为常数。

1/（x-1）-1/（x+1）=（x+1）/(x²-1)-（x-1）/(x²-1)=2/(x²-1)。

由此可得：1/(x²-1)=1/2[1/（x-1）-1/（x+1）]

∫dx/(x²-1)dx

=∫1/2[1/（x-1）-1/（x+1）]dx

=1/2ln丨x-1丨-1/2ln丨x+1丨+C

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。

扩展资料

常用积分公式：

1）∫0dx=c

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

Answer 2

∫dx/(x²-1)=1/2ln丨x-1丨-1/2ln丨x+1丨+C。C为常数。

1/（x-1）-1/（x+1）=（x+1）/(x²-1)-（x-1）/(x²-1)=2/(x²-1)。

由此可得：1/(x²-1)=1/2[1/（x-1）-1/（x+1）]

∫dx/(x²-1)dx

=∫1/2[1/（x-1）-1/（x+1）]dx

=1/2ln丨x-1丨-1/2ln丨x+1丨+C

扩展资料：

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

Answer 3

∫1/[x√(x^2-1)]dx=∫(1/x^2)/[√(x^2-1)/x]dx=∫(1/x^2)dx/√[1-(1/x)^2]=-∫d(1/x)/√[1-(1/x)^2]=-arcsin(1/x)+C其中C为任意常数∫1/[x√(1-x²)]dx分子分母同乘以x=∫x/[x²√(1-x²)]dx=(1/2)∫1/[x²√(1-x²)]d(x²)令√(1-x²)=u，则x²=1-u²，d(x²)=-2udu=(1/2)∫1/[(1-u²)u](-2u)du=∫1/(u²-1)du=(1/2)ln|(1-u)/(1+u)|+C=(1/2)ln|(1-√(1-x²))/(1+√(1-x²))|+C=(1/2)ln|(1-√(1-x²))²/x²|+C=ln|(1-√(1-x²))/x|+C

Answer 4

令x = tany,dx = sec²y dy,y∈(- π/2,π/2)
∫ 1/√(1 + x²) dx
= ∫ 1/√(1 + tan²y) * sec²y dy
= ∫ 1/|secy| * sec²y dy
= ∫ secy dy,在y∈(- π/2,π/2)上secy > 0
= ln| secy + tany | + C
= ln| tany + √(1 + tan²y) | + C
= ln| x + √(1 + x²) | + C

Answer 5

∫1/x²dx=1/(-2+1)x^(-2+1)+c=-x^(-1)+c=-1/x+c