Question

f(x)=xe^x+ax^2-x 若f(x)存在唯一零点，求a的范围！！！

Answer 1

f(x)=xe^x+ax^2-x
显然f(0)=0,x=0是零点
f'(x)=e^x+xe^x+2ax-1
f'(0)=e^x+xe^x+2ax-1=0
x=0同时又是驻点
f''(x)=2e^x+xe^x+2a
f''(0)=2+2a
∴a=-1 f''(0)=0 x=0不是极值点 f(x)是单调函数x=0是唯一的零点
a<-1 f''(0)<0 f(0)是极大值
x∈(0,+∞)必定存在x₀>0 f(x₀)<f(0)=0
lim(x→+∞)f(x)=+∞
∴x∈(x₀,+∞)中必定存在零点,x=0不是唯一的零点
a>-1 f''(0)>0 f(0)是极小值
-1<a<0时，由于f(0)是极小值
x∈(0,+∞)必定存在x₀<0 f(x₀)>f(0)=0
lim(x→-∞)f(x)=-∞
∴x∈(-∞,x₀)中必定存在零点,x=0不是唯一的零点
a≥0时,x<0 e^x<1
∴f'(x)=e^x+xe^x+2ax-1<0
x>0 e^x>1
f'(x)=e^x+xe^x+2ax-1>0
∴x=0是唯一的驻点（极小值点）
∴f(x)≥f(0)=0
∴x=0是唯一零点
综上：a=-1∪a≥0

Answer 2

高中还是高数？学过导数没？

追问

高中导数，觉得有点摸不着头脑,应该怎么讨论情况呢？