求二元函数的极限
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解：
(x³+y³)/(x²+y²)
=(x+y)(x²+y²-xy)/(x²+y²)
又∵
-xy≥ -(x²+y²)/2
(x³+y³)/(x²+y²)
=(x+y)(x²+y²-xy)/(x²+y²)
≥(x+y)(x²+y²)/2(x²+y²)
=(x+y)/2
(x³+y³)/(x²+y²)
≤(|x|³+|y|³)/(x²+y²)
=(|x|+|y|)(x²+y²-|xy|)/(x²+y²)
≤(|x|+|y|)(x²+y²+2|xy|)/(x²+y²)
=(|x|+|y|)(x+y)²/(x²+y²)
又x²+y²≥(x+y)²/2
1/(x²+y²) ≤ 2/(x+y)²
∴
(x³+y³)/(x²+y²)
≤(|x|+|y|)(x+y)²/(x²+y²)
≤2(|x|+|y|)(x+y)²/(x+y)²
=2(|x|+|y|)
因此：
(x+y)/2 ≤ (x³+y³)/(x²+y²) ≤ 2(|x|+|y|)
lim(x+y)/2=0
lim2(|x|+|y|)=0
∴夹逼准则：
lim (x³+y³)/(x²+y²) =0
(x³+y³)/(x²+y²)
=(x+y)(x²+y²-xy)/(x²+y²)
又∵
-xy≥ -(x²+y²)/2
(x³+y³)/(x²+y²)
=(x+y)(x²+y²-xy)/(x²+y²)
≥(x+y)(x²+y²)/2(x²+y²)
=(x+y)/2
(x³+y³)/(x²+y²)
≤(|x|³+|y|³)/(x²+y²)
=(|x|+|y|)(x²+y²-|xy|)/(x²+y²)
≤(|x|+|y|)(x²+y²+2|xy|)/(x²+y²)
=(|x|+|y|)(x+y)²/(x²+y²)
又x²+y²≥(x+y)²/2
1/(x²+y²) ≤ 2/(x+y)²
∴
(x³+y³)/(x²+y²)
≤(|x|+|y|)(x+y)²/(x²+y²)
≤2(|x|+|y|)(x+y)²/(x+y)²
=2(|x|+|y|)
因此：
(x+y)/2 ≤ (x³+y³)/(x²+y²) ≤ 2(|x|+|y|)
lim(x+y)/2=0
lim2(|x|+|y|)=0
∴夹逼准则：
lim (x³+y³)/(x²+y²) =0
追问
这个地方相等吗
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