Question

高中数学题

高中数学题已知函数f(x)=x³+ax²+bx，设其极值点分别为x1，x2，其中x1＜x2，令g(x)=f(x)-f(x0)
则当x0+x1=2x2时，判断g(x)的零点个数。
当x0-x2=2(x2-x1)时，判断g(x)的零点个数。

Answer 1

f'(x)=3x^2+2ax+b=3(x-x1)(x-x2),a^2-3b>0,
x1=[-a-√(a^2-3b)]/3,x2=[-a+√(a^2-3b)]/3,
1)x0=2x2-x1=[-a+3√(a^2-3b)]/3>x2,
g'(x)=f'(x),x1<x<x2时g'(x)<0,g(x)是减函数，x<x1或x>x2时g(x)是增函数。
易知g(x0)=0,∴g(x2)<0,
g(x1)=f(x1)-f(x0)=x1^3-x0^3+a(x1^2-x0^2)+b(x1-x0)
=(x1-x0)[x1^2+x1x0+x0^2+a(x1+x0)+b]
=(x1-x0)[(x0+x1)^2-x0x1+a(x1+x0)+b]
=(x1-x0){4x2^2+2ax2+b-[a^2-3a^2+9b-2a√(a^2-3b)]/9}
=(x1-x0){x2^2-[-2a^2+9b-2a√(a^2-3b)]/9}
=(x1-x0)[4a^2-12b+2a√(a^2-3b)]/9<0,
∴g(x)只有1个零点。
2）x0=x2+2(x2-x1)=[-a+5√(a^2-3b)]/3,
x0+x1=[-2a+4√（a^2-3b）]/3,
仿上，g(x1)=(x1-x0)[(x1+x0)^2-x1x0+a(x1+x0)+b]
=(x1-x0){[4a^2+16(a^2-3b)-16a√(a^2-3b)+4a^2-15b+4a√(a^2-3b)]/9
+[-2a^2+4a√(a^2-3b)]/3+b}
=2(x1-x0)(a^2-3b)<0,
∴g(x)只有一个零点。

追问

辛苦了，谢谢！