Question

第二型面积分和高斯公式

第二型面积分可以用高斯公式变成3重积分，但是正负号如何判断呢？？？
比如∫∫x(cos(1+z))^2dy∧dz+y(sin(1+z))^2dz∧dx-4(x^2+y^2+z)dx∧dy，面∑是半球面z=-（1-x^2-y^2)^1/2的上侧，为什么结果用高斯公式前面要加个负号？？

Answer 1

首先这个曲面必须是闭曲面，于是就有了内侧和外侧之分，高斯公式中3重积分算得的是外侧的积分

Answer 2

要闭合曲面才能用高斯公式，而且闭合曲面的法向量方向是向外为正

Answer 3

题目会告诉你积分曲面的方向。假如所积分的曲面是闭合的曲面，那么方向向里就是负号，向外就是正号。假如所给的曲面不是闭合的，这时你需要作辅助面使其成为闭合的曲面，这时，方向向里为负号，外为正号。
用高斯定理进行第二类曲面积分，往往是曲面较为复杂而通过添加简单的曲面，如，平面（尤其是平行于坐标面得平面），就可形成闭合曲面。而一般情况，还是直接积分比较好。