Question

设A为m×n矩阵，C为n阶可逆矩阵，B=AC，问秩(A)和秩(B)的关系

Answer 1

设A为m×n矩阵，C为n阶可逆矩阵，B=AC，秩(A)=秩(B)。

∵C是n阶可逆矩阵

∴C可以表示成若干个初等矩阵之积，即

C=P1P2…Ps，其中Pi（i=1，2，…，s）均为初等矩阵。

而：B=AC，

∴B=AP1P2…Ps，

即B是A经过s次初等列变换后得到的，又初等变换不改变矩阵的秩。

∴r（B）=r（AC）=r（A）=r1

扩展资料：

m × n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足的。在m*n矩阵A中，任意决定α行和β列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，为A的一个k阶子式。

矩阵的行秩，列秩，秩都相等。初等变换不改变矩阵的秩。如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

Answer 2

A为m×n矩阵 所以知道r(A)<=MIN(m,n)
C为n阶可逆矩阵 知道rC =n
B=AC 知道 B是由A进列变换得到的，变换为C C 可逆 由定义可以知道
A的列秩不变
所以 r(A) =r(B)