Question

为什么说函数在某一点左右导数都存在，则一定连续？

为什么说函数在某一点左右导数都存在，则一定连续？左右导数存在但是不相等呢？

Answer 1

书上定理：可导一定连续，连续不一定可导。 左右导数不相等认为是不可导。

追问

左右导数不相等，那他一定是不可导，但是左右导数都存在那一定连续。我问的是这个连续问题

大哥

追答

因为函数可导,根据可导的定义有
limΔy/Δx=A (Δx趋向于0)
所以
Δy/Δx=A+α (α是Δx趋向于0时的无穷小)
从而
Δy=AΔx+αΔx
当Δx趋向于0时,显然limΔy=0
由连续定义有
函数连续.

追问

谢谢大佬

Answer 2

我非公式化的抽象的讲一下，以便后人理解。
导数就是函数的切线，若该点处不连续，则该点为端点，端点无切线，也就是没导数。

Answer 3

左导左连续，右导右连续嘛，说了可导一定连续，又怎能说不可能一定不连续呢，y=|x|在x=0处不可导，但左右导数都存在，并且也是连续得。