Question

微分方程高等数学

微分方程高等数学请问这道怎么解，自由项里有一个x

Answer 1

解∵齐次方程y''+y=0的特征方程是r²+1=0,则r=±i (i是虚数)
∴此齐次方程的通解是y=C1*cosx+C2*sinx (C1,c2是积分常数)
令原方程的解为y=(Ax+B)cos(2x)+(Cx+D)sin(2x)
∵y‘=(2Cx+A+2D)cos(2x)+(-2Ax-2B+C)sin(2x)
y''=(-4Ax-4B+4C)cos(2x)+(-4Cx-4A-D)sin(2x)
代入原方程,求得A=-1/3,B=C=0,D=4/9
∴原方程的一个解是y=(4/9)sin(2x)-(x/3)cos(2x)
故原方程的通解是y=C1*cosx+C2*sinx+(4/9)sin(2x)-(x/3)cos(2x) (C1,c2是积分常数).

Answer 2

1/(D^2+1)*xe^(2ix)
=e^(2ix)*1/[(D+2i)^2+1]*x
=e^(2ix)*1/(D^2+4ID-3)*x
=e^(2ix)*(-1/3-4iD/9)x
=e^(2ix)(-x/3-4i/9)
=(cos2x+isin2x)(-x/3-4i/9),
取其实部,特解为y=(-x/3)cos2x+(4/9)sin2x.

Answer 3