Question

计算第二类曲面积分xdydz+ydzdx+zdxdy,其中S为上半球面x²+y²+z²=R²的上侧

Answer 1

补上平面S1为z＝0上的圆形区域x²+y²≤R²。

S1的积分∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy=0。

根据高斯公式，S+S1上的积分∫∫∫3dv＝3×2πR³/3＝2πR³。

所以，原积分＝2πR³。

第二型曲面积分的计算

(1)将曲面S向相应的坐标平面投影，求得二重积分的积分区域。

(2)根据曲面的侧（即法向量的方向）确定二重积分的符号。

根据积分表达式，确定投影平面，如要计算，P(x，y，z)dydz，必须将S向yz平面投影，求得二重积分的积分区域Dyz，此时，P(x，y，z)dydz=±。

P(x(y，z)，y，z)dydz，其中曲面S：x=x(y，z)，(y，z)∈Dyz，二重积分的符号取决于法向量与x正向的夹角，为锐角时取正号，钝角时取负号，简记为前正、后负。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

补上平面S1为z＝0上的圆形区域x²+y²≤R²。
S1的积分∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy=0。
根据高斯公式，S+S1上的积分∫∫∫3dv＝3×2πR³/3＝2πR³。
所以，原积分＝2πR³。

Answer 4

解法如图所示，请采纳谢谢。结果是12

Answer 5

高斯公式

追答

最终结果是 3倍上半球的体检