Question

线性代数 证明矩阵的行秩等于列秩

Answer 1

运用等价无穷小和泰勒公式代换来做
原式=lim(x->0) [1+x^2/2-√(1+x^2)]/[(cosx-e^(x^2))*x^2]
=lim(x->0) [1+x^2/2-1-x^2/2+x^4/8+o(x^4)]/[(1-x^2/2+o(x^3)-1-x^2+o(x^2))*x^2]
=lim(x->0) [x^4/8+o(x^4)]/[-(3/2)*x^4+o(x^4)]
=-1/12

Answer 2

把矩阵化为标准阶梯矩阵很容易看出

追问

需要对一般情况进行证明

追答

令A是一个m×n的矩阵，其列秩为r. 令A的列的一组基为c1,c2,...cr，并记矩阵C=(c1,c2,...cr). 显然A的每个列向量是c1,c2....cr这r个列向量的线性组合. 设A的第i列ai=b1ic1+b2ic2+....+bricr ,令B=(bij)，则这是一个r×n矩阵，且有A=CB。再观察A的行向量，由A=CB知，A的每个行向量都是B的行向量的线性组合，因此A的行秩 ≤B 的行秩. 但B仅有r行, 所以A的行秩 ≤r =A 的列秩. 这就证明了A的行秩 ≤A 的列秩, 类似的，可知A的列秩=A的转置的行秩 ≤A的转置 的列秩=A的行秩，所以A的行秩=A 的列秩。