Question

证明若{an}具有性质a1≥a2≥…≥an≥…，lim（n→∞）an=0，则级数∑ansinnx和

证明若{an}具有性质a1≥a2≥…≥an≥…，lim（n→∞）an=0，则级数∑ansinnx和证明若{an}具有性质a1≥a2≥…≥an≥…，lim（n→∞）an=0，则级数∑ansinnx和∑ancosnx对任何x∈（0，2π）都收敛
补

Answer 1

狄利克雷判别法

若{an}单调趋于0,∑(i=1→n)bi有界,则∑anbn收敛

显然现在题目的条件都是{an}单调趋于0,所以只要证|sinx+sin2x+...+sinnx|<M1以及|cosx+cos2x+...+cosnx|<M2,其中M1,M2是某个确定的正数,对于任何自然数n都成立

利用三角公式

显然当x∈(0,2π)时分子的绝对值小于等于1恒成立,而分母sin(x/2)>0,

于是有|sinx+sin2x+...+sinnx|=|分子|/sin(x/2)≤1/sin(x/2)

|cosx+cos2x+...+cosnx|=|分子|/sin(x/2)≤1/sin(x/2)

不等号右边不含n,因此对确定的x,右边是一个常数,即满足狄利克雷条件中的∑(i=1→n)bi有界

所以两个级数都收敛