Question

数分证明题

数分证明题要详细过程，谢谢

Answer 1

用数学归纳法证明如下：
当n=0时：1=1成立
假设已有：(a+b)^[n]=∑[m=0,n]C(n,m)a^[n-m]b^[m]
两边乘(a+b-nh)得：
(a+b)^[n+1]=(a+b-nh)∑[m=0,n]C(n,m)a^[n-m]b^[m]
把(a+b-nh)拆成两项：a-(n-m)h 和 b-mh
放到和式中分配给a^[n-m]得：
(a+b)^[n+1]=∑[m=0,n]C(n,m)(a^[n-m](a-(n-m)h) + a^[n-m](b-mh))b^[m]
再分配给b^[m+1]得：
(a+b)^[n+1]=∑[m=0,n]C(n,m)(a^[n-m+1]b^[m] + a^[n-m]b^[m+1])
拆成两个和式，准备合并同类项：
(a+b)^[n+1]=∑[m=0,n]C(n,m)a^[n-m+1]b^[m] + ∑[m=0,n]C(n,m)a^[n-m]b^[m+1]
除了首尾两项，都可以合并，所以先把首尾两项分出来：
(a+b)^[n+1]=a^[n+1] + ∑[m=1,n]C(n,m)a^[n+1-m]b^[m] + ∑[m=0,n-1]C(n,m)a^[n-m]b^[m+1] + b^[n+1]
更换右边和式的求和变量使它与左边一致，取：m=w-1得：
(a+b)^[n+1]=a^[n+1] + ∑[m=1,n]C(n,m)a^[n+1-m]b^[m] + ∑[w=1,n]C(n,w-1)a^[n+1-w]b^[w] + b^[n+1]
现在两个和式可以合并了：
(a+b)^[n+1]=a^[n+1] + ∑[m=1,n](C(n,m)+C(n,m-1))a^[n+1-m]b^[m] +b^[n+1]
利用组合恒等式C(n,m)+C(n,m-1)=C(n+1,m)得：
(a+b)^[n+1]=a^[n+1] + ∑[m=1,n] C(n+1,m)a^[n+1-m]b^[m] + b^[n+1]
最后把首尾两项收回，就是证明的结果：
(a+b)^[n+1]=∑[m=0,n+1]C(n+1,m)a^[n+1-m]b^[m]
取h=0就是牛顿二项式公式了