Question

一道高中数学题,关于向量

已知向量a，b，且a不等于0，b不等于0 ，当向量a+tb（t属于R）的模最小时，求t的值，并证明b与a＋tb垂直
能否有详细的过程,主要是T的值得算法

Answer 1

取AB中点为D，OA+OB=2
OD,(平行四边形对角线互相平分)又因为OA+OB+OC=0，所以OC=2
OD且共线，同理找BC中点为S，AC中点为W，OA=2
OS且共线，OB=2
OW且共线。D，S，W分别为AB,BC,AC中点，所以O为三角形重心。
取BC中点D，连结并延长OD至E，使DE=OD
于是四边形BOCE是平行四边形
所以向量OB=向量CE
所以向量OB+向量OC=向量CE+向量OC=向量OE
而由向量OA+向量OB+向量OC=0得
向量OB+向量OC=-向量OA=向量AO
所以向量AO和向量OE共线
所以A、O、E三点共线
而D在OE上
所以A、O、D三点共线
而点D又是BC中点
所以AD(即AO)是三角形ABC中BC边中线
同理可证BO是AC边中线，CO是AB边中线
所以点O是三角形ABC的重心

Answer 2

取AB中点为D，OA+OB=2
OD,(平行四边形对角线互相平分)又因为OA+OB+OC=0，所以OC=2
OD且共线，同理找BC中点为S，AC中点为W，OA=2
OS且共线，OB=2
OW且共线。D，S，W分别为AB,BC,AC中点，所以O为三角形重心。
谢谢~

Answer 3

/a+tb/2=a^2+2ta.b+t^2b^2
t=-a.b/b^2时模最小.

此时b.(a+tb)=a.b+tb^2=0
所以垂直