Question

已知函数ax^3-x^2+4x+3,若在[-2,-1]上,f(x)>0恒成立，则a的取值范围？

Answer 1

f(x) = ax^3-(x^2-4x-3)
= ax^3-(x^2-4x+4-4-3)
= ax^3-(x-2)^2+7

因为在[-2,-1]上,f(x)>0恒成立
所以 ax^3-(x-2)^2+7>0
ax^3>(x-2)^2-7

(x-2)^2-7在[-2,-1]上为减函数
当x=-2时，(x-2)^2-7=9, ax^3=-8a>9, a<-9/8;
当x=-1时，(x-2)^2-7=2, ax^3=-1a>2, a<-2

所以 a<-9/8 并且 a<-2
得出，a<-2

Answer 2

• f(x)=ax³-x²+4x+3

  f(-2)=-8a-4-8+3>0→a<-8/9

  f(-1)=-a-1-4+3>0→a<-2

  a<-2

  f'(x)=3ax²-2x+4

  Δ=4-48a>0

  驻点x=[1±√(1-12a)]/3

  x₁=[1+√(1-12a)]/3a→-1<x₁<0 位于区间右侧，为极小值点

  x₂=[1-√(1-12a)]/3a→0<x₂<⅔，位于区间右侧为极大值点

  ∴x∈[-2,-1]单调递减 f(x)≥f(-1)>0

• a∈(-∞,-2)