Question

请问这个复变函数积分怎么求，有答案，求过程

要有过程

Answer 1

解：设f(z)=(z-sinz)/(1-cosz)²。
∵1-cosz=1-[1-z²/2!+z^4/4!-……]=z²(1/2!-z²/4!+…)，z-sinz=z-[z-z³/3!+z^5/5!+…]=z³/3!-z^5/5!+…，
∴f(z)=[1/3!-z²/5!+…]/[z(1/2!-z²/4!+…)²]。∴在丨z丨=1内，f(z)有一个一阶极点z1=0。
∴由留数定理有，原式=(2πi)Res[f(z),z1]=(2πi)lim(z→0)zf(z)=(2πi)lim(z→0)(1/3!-z²/5!+…)/(1/2!-z²/4!+…)²=4πi/3。
供参考。