Question

高数：设u＝f(ξ,η)，其中ξ＝e∧xcosy，η＝e∧xsiny，求二阶偏导数uxx与uyy

高数：设u＝f(ξ,η)，其中ξ＝e∧xcosy，η＝e∧xsiny，求二阶偏导数uxx与uyy如图3，麻烦按步骤写出结果，谢谢！

Answer 1

∂ξ/∂x=(e^x)cosy , ∂η/∂x=(e^x)siny
∂ξ/∂y= -(e^x)siny , ∂η/∂x=(e^x)cosy
∂u/∂x
=∂u/∂ξ * ∂ξ/∂x + ∂u/∂η * ∂η/∂x
= f1(e^x)cosy + f2(e^x)siny
∂²u/∂x²
=(∂/∂x)(∂u/∂x)
=(∂/∂x)(f1(e^x)cosy) + (∂/∂x)(f2(e^x)siny)
=(∂f1/∂x)(e^x)cosy+f1 * ∂[(e^x)cosy]/∂x + (∂f2/∂x)(e^x)siny + f2 *∂[(e^x)siny]/∂x
=f11(e^x)cosy + f1(e^x)cosy + f21(e^x)siny + f2(e^x)siny
∂u/∂y
=∂u/∂ξ * ∂ξ/∂y + ∂u/∂η * ∂η/∂y
= -f1(e^x)siny + f2(e^x)cosy
∂²u/∂y²
=(∂/∂y)(∂u/∂y)
=(∂/∂y)(-f1(e^x)siny) + (∂/∂y)(f2(e^x)cosy)
=(∂f1/∂y)(-f1(e^x)siny)+f1(e^x) * ∂[-siny]/∂y + (∂f2/∂y)(e^x)cosy + f2 *∂[(e^x)cosy]/∂y
= -f12(e^x)siny - f1(e^x)cosy + f22(e^x)cosy - f2(e^x)siny