Question

复变函数 这题怎么做？

Answer 1

①解

令z=（3+i）t，原式变为
∫[0,1]（3+i）^3*t^2dt
=（1/3）（3+i）^3*t^3|[0,1]
=（1/3）（3+i）^3
②解
先令z=t，则有
∫[0,3]t^2dt=（1/3）t^3|[0,3]=9
再令z=3+ti，有
∫[0,1]i（3+ti）^2dt
=∫[0,1]（3+ti）^2d（3+ti）
=（1/3）（3+ti）^3 |[0,1]
=（1/3）（3+i）^3-9
所以此路径结果为9+（1/3）（3+i）^3-9=（1/3）（3+i）^3
③解
先令z=it，则有
∫[0,1]i（it）^2dt
=∫[0,1]（it）^2d（it）
=（1/3）（it）^3 |[0,1]
=（1/3）i^3
再令z=t+i，有
∫[0,3]（t+i）^2dt
=（1/3）（t+i）^3 |[0,3]
=（1/3）（3+i）^3-（1/3）i^3
所以此路径结果为
（1/3）i^3+（1/3）（3+i）^3-（1/3）i^3=（1/3）（3+i）^3
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其实就是引入t，改变t的积分上下限去控制路径
注意，和第二类积分类似
在dz变为dt时，要将z=f（t）带进dz里
即，假如z=3t，则∫zdz=∫3td（3t）=9∫tdt

Answer 2

这个题目按最基本的方法算的话就是把z看成x+iy，然后看成二元积分，然后在不同路径积分。比方说第一个就是一个径向的积分路径，夹角不变。第二个和第三个都可以分成两段积分，因为积分路径有两段。这三道题的结果应该是一样的，因为z^2是整个复平面上的解析函数，积分结果与积分路径无关，至于起点和终点有关，也就是著名的柯西积分定理

Answer 3

1/(z^2-4)=1/(z-2)(z+2) 所以原积分=2πi*1/4=πi/2