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作换元t=x²/2,原式=∑(n=1→∞)(2n-1)t^n,该级数收敛域为|t|<1,∴原级数收敛域为(-√2,√2)
而∑(n=1→∞)(2n-1)t^n
=∑(n=1→∞)2nt^n-∑(n=1→∞)t^n
=2t∑(n=1→∞)nt^(n-1)-1/(1-t)+1
=2t[1/(1-t)-1]'-t/(1-t)
=2t/(1-t)²-t(1-t)/(1-t)²
=(t+t²)/(1-t)²
=(2x²+x^4)/(2-x²)²
令x=1,得原式=3
而∑(n=1→∞)(2n-1)t^n
=∑(n=1→∞)2nt^n-∑(n=1→∞)t^n
=2t∑(n=1→∞)nt^(n-1)-1/(1-t)+1
=2t[1/(1-t)-1]'-t/(1-t)
=2t/(1-t)²-t(1-t)/(1-t)²
=(t+t²)/(1-t)²
=(2x²+x^4)/(2-x²)²
令x=1,得原式=3
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