Question

为什么当一个矩阵与一个满秩矩阵相乘时，所

Answer 1

如Am*n矩阵，另一矩阵B:
1、A为满秩矩阵时，则r(AB)=r(BA)=r(B);
2、A为行满秩矩阵时，则r(BA)=r(B);
3、A为列满秩矩阵时，则r(AB)=r(B).

A为满秩矩阵
那么A是可逆方阵
一方面有 r(AB) <= r(B)
另一方面 r(B) = r(A^-1(AB)) <= r(AB)
所以 r(AB) = r(B).

A为列满秩矩阵时
考虑齐次线性方程组 ABX=0 与 BX = 0
因为 A为列满秩, 所以 A(BX)=0 则必有 BX=0. 故 它们同解。
秩相等。

Answer 2

因为满秩矩阵是可逆的，一个矩阵乘以一个可逆矩阵秩不变

Answer 3

补充楼上，若A为行满秩矩阵。则A 转置为列满秩矩阵 所以有R(BA)= R （ （BA）转置 ）=R（A转置B转置）=R（B转置）= R（B）