Question

如何用一句话概括拓扑学、泛函分析、实变函数讲的是什么？

Answer 1

这个对我们思维有很大的影响，通常掌握这些能力的人要经过长时间，大量的训练。而且还必须有一定的悟性，才能够真正的学会这些技能。我觉得无论是未经训练的素人还是受过一定数学训练的人，这点认识都会是有好处的:
拓扑是为了确定画的出来或者画不出来的几何对象定义什么是“形状”。
实变是希望能够为任意一个可能很糟糕或者抽象的形状确定面积(因为有了面积才可以积分)。
泛函是希望能够为一个(无穷维)的线性空间确定一个几何，并且探讨这种几何跟它的代数运算的关系，以及如何在不同的空间之间建立联系。希望能够模仿普通的欧式空间的“行为”

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我们按照这个问题又可以延伸到一个人是否具备高级知识学习的能力合阅历，题主你提出了这个问题，想必是在数学领域有一定基础的，但是并不深入。看问题题主应该不是非常深入高层数学了，下面按照本科大三的观点谈一下自己的见解。一句话：拓扑是研究连续变化的数学，泛函相当于是无限维空间上的线性代数，实变函数就是在全力消灭黎曼积分的局限性。为了消除课程名称的晦涩：拓扑就是一门几何学，泛函主要是用代数的方法在研究变量为函数的函数，实变函数主要由测度与积分组成。至于三门课中的主要结论和中心定理，由于一句话所限，还是略去吧。

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所以不是每个人都有这个思考能力的，所以大家按照自己的实力去思考吧。

希望对你有用。