高数中，请问这个级数求和是怎么来的?
用傅里叶级数可以得到
设f(x)=x²,x∈[-π,π],把它扩展成周期为2π的周期函数,即F(x)=(x-2kπ)²,x∈[2kπ-π,2kπ+π],k=0,±1,±2,...
扩展之后的F(x)在整个数轴上连续,并且在一个周期[-π,π]上只有x=0一个极值点,即满足傅里叶级数的收敛条件
∴在[-π,π]上F(x)的傅里叶级数就收敛至f(x)
F(x)是偶函数,所以可以展开为余弦级数,计算傅里叶系数:
a0=2/π*∫{0,π}x²dx=2/π*π³/3=2π²/3
an=2/π*∫{0,π}x²cosnxdx,利用分部积分法
令x²=u,cosnxdx=dv,则du=2xdx,v=1/n*sinnx
于是∫x²cosnxdx=uv-∫vdu=x²/n*sinnx-2/n*∫sinnx*xdx
对∫xsinnxdx再进行一次分部积分,令x=u,sinnxdx=dv,则du=dx,v=-1/n*cosnx
∫x²cosnxdx=x²/n*sinnx-2/n*∫sinnx*xdx
=x²/n*sinnx-2/n*(-x/n*cosnx+1/n*∫cosnxdx)
=x²/n*sinnx+2x/n²*cosnx-2/n³*sinnx+C
把上下限代入得∫{0,π}x²cosnxdx=2π/n²*cosnπ=(-1)^n*2π/n²
于是an=2/π*(-1)^n*2π/n²=(-1)^n*4/n²
∴f(x)=a0/2+∑(n=1→∞)ancosnx=π²/3+∑(n=1→∞)(-1)^n*4/n²*cosnx,x∈[-π,π]
f(x)在x=π处左连续,∴π²=π²/3+∑(n=1→∞)(-1)^n*4/n²*cosnπ
2π²/3=4∑(n=1→∞)1/n²
∑(n=1→∞)1/n²=2π²/(3*4)=π²/6
北京埃德思远电气技术咨询有限公司
2023-07-25 广告
计算方法不是唯一的，还可以利用傅里叶级数计算，这个问题叫巴塞尔问题，你搜一下会得到很多解答
