Question

求大佬指教一下，关于导数的问题？！

Answer 1

这个题你要证明什么？最上面的是题么？
看你过程还有个问题啊，拉格朗日中值定理只说是至少一个ξ，可没说一定有两个或两个以上的ξ满足公式。你要这么用，你还得证明有两个ξ存在呢

追问

是想证明1对不对。。。我是对两段区间用的拉格朗日，第一段是x到0(X0),所以我的ξ1在（x1,0）,ξ2在（0，x2）.不过到最后那步我就不知道该怎么办了，如果ξ1=ξ2=0，那就对，但我的ξ是由拉格朗日得到的，取不到端点，所以很懵逼。

追答

首先，假设了两个分段区间，如果存在ξ1，ξ2，显然ξ1<ξ2啊（ξ是在区间内的，无法取到端点处。建议仔细看一下拉格朗日中值定理）。而且你也无法证明同时存在两个ξ1，ξ2，虽然你分了两个区间，但并不是指定一个子区间就有个ξ的，那这样岂不是ξ无穷多。

追问

没问题，拉格朗日就是闭区间连续，开区间可导，就可以了。而且ξ就是有无穷个呀，因为x可以取无数个，而每取一个x，都至少由有一个ξ，每个f'(ξ)又不一定相等。我之前没啥大问题的。就是想问最后的。

追答

我明白你要说的了，但是每个f'(ξ)又不一定相等，确实如你所说啊，没法证明这两个相等啊。同时ξ是在区间内的，无法取到端点处的，所以也不可能在端点x=0处相等。你觉得呢
感觉和证明导函数连续还有点不一样吧。是无法证明导函数连续的。有反例，这两天正好看到一个。请参考
f(x)=x^2*sin(1/x),(x≠0时)，f(0)=0.
f′(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x),(x≠0时)，f′(0)=0.f′(x)在x=0不连续

追问

你举的例子确实是这题的反例。还有我证明他们相等是通过导数存在，则左导数等于右导数，再根据求导数的式子与拉式中值的关系推得，如图片。这几个步骤没问题。最后也没问题。我问题出在对拉格朗日中值定理的等式两边取极限，因为ξ->0时f'(ξ)的极限不一定存在。如果存在的话，则后面没问题了。

Answer 2

啊嗷，请你写中文，阿喔~

Answer 3

高中数学我自己都没学好

追问

大哥，，(´இ皿இ｀)你是来砸场子的吧。。

追答

没