Question

求微分方程y'+ycosx=sinxcosx满足初始条件y│x=0=1的特解

Answer 1

由y'+ycosx=0得dy/y=-cosxdx,

lny=-sinx+c0,

y=ce^(-sinx).

设y=c(x)*e^(-sinx)是原方程的解，则

y'=[c'(x)-c(x)cosx]e^(-sinx),

代入原方程得c'(x)e^(-sinx)=sinxcosx,

∴c'(x)=sinxcosx*e^sinx,

∴c(x)=∫sinxcosx*e^sinx*dx

=∫te^tdt(t=sinx)

=te^t-e^t+C1

∴y=(sinx*e^sinx-e^sinx+C1)e^(-sinx),

又y(0)=1,

∴1=-1+C1,c1=2,

∴y=(sinx*e^sinx-e^sinx+2)e^(-sinx)。

其他解法：

注意到：(1+sinx+cosx)(1-sinx-cosx)=1-(sinx+cosx)^2=-2sinxcosx ……①,

所以：（1）当1+sinx+cosx＝0时容易知道sinx,cosx中有一个是0。(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)＝0。

（2）当1+sinx+cosx≠0时，由①式(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)＝-1/2*(1-sinx-cosx)=-1/2+(sinx+cosx)/2.

而由于sinx+cosx=√2*sin(x+π/4),所以-√2≤sinx+cosx≤√2.(√2+1)/2≤-1/2(sinx+cosx)/2≤(√2-1)/2。

综上所述，y=(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)的值域是[-(√2+1)/2,(√2-1)/2]。

扩展资料：

微分方程约束条件

微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。

常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。

唯一性

存在性是指给定一微分方程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。

针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理 [4]  则可以判别解的存在性及唯一性。

参考资料来源：百度百科--微分方程

Answer 2

因为这里书写不便，故将我的答案做成图像贴于下方，谨供楼主参考（若图像显示过小，点击图片可放大）

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

如图