Question

求此二阶偏微分方程解法，求大神

a是个常数

Answer 1

用分离变量法。
设 u(x, t) = U(x)T(t), 代入偏微分方程得
U(x)dT(t)/dt = a^2T(t)d^2U(x)/dx^2
(1/T)dT/dt = (a^2/U)d^2U(x)/dx^2
左边是 t 的函数， 右边是 x 的函数， 相等时只有二者都是常数，即
(1/T)dT/dt = (a^2/U)d^2U/dx^2 = k
分离为两个常微分方程：
(1/T)dT = kdt
a^2d^2U(x)/dx^2 - kU = 0
前者通解为 lnT = kt + lnC1 , 即 T = C1e^(kt);
后者特征方程 a^2r^2 - k = 0, r = ±√(k/a^2)
通解 U = C2e^[√(k/a^2)] + C3e^[-√(k/a^2)]
u(x,t) = C1e^(kt) {C2e^[√(k/a^2)] + C3e^[-√(k/a^2)]}
根据你给的条件确定 k，C1，C2，C3

Answer 2

题目完整的发下

追问

是一道数学建模题，条件只有这么多，老师说能解出来，但我不会解，u是温度，x是一个平板的厚度，t是时间，求的是u（x，t）