Question

A+B的特征值是A和B特征值的和吗？

Answer 1

若同阶矩阵A B的特征值之一分别为x ,y那么A+B的特征值是不是有一个为x+y
答：
特征值的个数不一定只有一个，故一般说A的特征值之一为x，或x是A的一个特征值，或x是A的特征值之一。因此我将题目略作了修改，同意不？
如果它们有A的特征值x对应的特征向量与B的特征值y对应的特征向量相同，比如都是ξ，
那么 Aξ=xξ,B=yξ，此时(A+B)ξ=(x+y)ξ，此时A+B有特征值x+y，对应的特征向量还是ξ.
其它情况就不好说了。。。
后来，电灯剑客先生提醒我说是不一定。其实我也正是因为没有进一步找出例子，也没有再深入分析，所以就说不好说。下面略分析一下。
不妨以二阶矩阵为例，令
A=
a1,b1;
a2,b2
B=
c1,d1;
c2,d2
由已知,
|xE-A|=xx-tr(A)x+det(A)=0
|yE-B|=yy-tr(B)y+det(B)=0
注：这里tr(A)是A的主对角线元素和，即tr(A)=a1+b2.
分析|(x+y)E-(A+B)|=
(xx+yy+2xy)-(tr(A)+tr(B))(x+y)+det(A)+det(B)+det{a1,d1;a2,d2}+det{c1,b1;c2,b2}
=0+0+2xy-tr(A)y-tr(B)x+det{a1,d1;a2,d2}+det{c1,b1;c2,b2}
易见它可能等于0，也可能不等于0.
故A+B不一定有特征值x+y，即可能有也可能没有。
或者说，x+y可能是A+B的特征值，也可能不是。

题二：设A,B分别是n阶正定矩阵，那么A+B是否是正定矩阵。
解：据定义，在复数范围内，
A为n阶的正定矩阵（有时简称为正定阵）<=>对于任一n维列向量x，都有x[H]Ax>0,
于是，依题意，x[H]Ax>0，x[H]Bx>0，相加得：x[H](A+B)x>0 ，即证A+B也为正定矩阵。

注1：此处，x[H]表示向量x的共轭转置，亦称为Hemite转置，此概念已涵盖实向量的转置。
因为在实数范围内，数的共轭等于自身，故实向量x的共轭转置即是x的转置。
注2：同理，复数范围内的正定矩阵定义，已经涵盖的实数范围内的正定矩阵的定义。
注3：A[H]=A，即矩阵A的共轭转置等于自身，则称为对称自共轭矩阵，共轭对称矩阵，或Hemite矩阵。故Hemite矩阵，已经涵盖了实对称矩阵的定义。

注4：正定矩阵的特征及性质
定理1：共轭对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。
定理2：共轭对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。
定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。
定理4：任意阵A为正定的充分必要条件是：A的逆阵也是正定矩阵。
正定矩阵的性质：
1.正定矩阵一定是非奇异的，即det(A)或记为|A|≠0。
2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
3.若A为实对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为 正定矩阵的乔列斯基(Cholesky)分解。这里L'表示转置。
注：正定矩阵之于矩阵，相当于正数之于数。矩阵的Cholesky分解，相当于数的开平方。

外一则：
B为对称矩阵，E为单位矩阵。则存在充分大的正实数a，使得aE+B为正定矩阵。

另有性质待考：
3++.若A为共轭对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L[H]，此为 共轭对称正定矩阵的乔列斯基(Cholesky)分解。这里L[H]表示L的共轭转置。
希望能解决您的问题。