Question

高等数学 导数 实际问题解惑！

是关于一个实际问题的疑问， 这个实际问题要求获得最小路程， 我写出方程(方程正确，与答案一致。)后发现，方程的导数在定义域(0-6)内除了2为驻点外都大于0，可是答案就直接判断2为最小值。 我们都知道如果导数大于0不是证明函数递增吗？ 最小值不应该是x在定义域内的最小值吗？并且如果只有一个驻点在定义域没是否就可以判断都不判断就直接认为是最小值或最大值？

Answer 1

你这个例子里f'(x)>=0, 且仅有一个根, 不仅说明单调, 而且是严格递增, 如果定义在闭区间上的话唯一的最小值在左端点取, 把f'(x)的零点作为最小值点是错误的, 一个典型的例子就是f(x)=x^3.
一般悉昌来讲通过毕仿求解f'(x)=0可以得到驻点, 但不能直接把驻点说成是极大/小值点, 需要通过一些额外条件来判定. 比睁数扒如说, 如果f'(x0)=0, 并且f''(x0)非零(不妨设f''(x0)>0), 那么就可以判定出这个驻点x0是一个极值点, 判定的依据其实是看x0附近f(x)-f(x0)的大小. 一种看法是由f''(x0)>0得到x<x0时f'(x)<0, x>x0时f'(x)>0, 得到f在x0左侧递减, 在x0右侧递增, 从而x0是极小值点；另一种看法是直接按Taylor公式f(x)-f(x0)=f''(x0)(x-x0)^2/2+o[(x-x0)^2]看出x-x0充分小时[f(x)-f(x0)]/(x-x0)^2/2 -> f''(x0)>0. 对于大多数初等问题而言我建议优先考虑第一种看法, 通过单调性去判断极值(尽管这并非总是有效), 这样可以更好地理解为什么要借助于f'(x0)=0来找极值, 也可以判定出极值的种类.